Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 508179

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.

б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть основание пирамиды трапеция ABCD, точки K, L, M и N — основания перпендикуляров опущеных из вершины пирамиды S на стороны основания. SO — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники SOK, SOL, SOM и SON равны по катету SO и острому углу (линейному углу двугранного угла между основанием и боковой гранью равному 60o). Следовательно, OK = OL = OM = ON и точка O является центром окружности вписанной в трапецию. Из равенства указанных треугольников будет следовать, что каждая точка высоты равноудалена от боковых граней пирамиды. Осталось на высоте SO найти точку равноудаленную и от боковых граней и от основания. Очевидно, что таковой будет являться точка G — пересечение высоты SO c биссектриссой одного из углов указанных треугольников, например, SMO (все биссектриссы углов этих треугольников, в силу равенства, будут пересекать SO в одной точке). Таким образом, существование необходимой точки доказано.

б) По условию трапеция равнобедренная, а по доказанному в пункте а) в нее можно вписать окружность. Поэтому, ее боковые стороны AB=CD= дробь: числитель: 18 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби =13, высота h= корень из (13 в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 18 минус 8, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) =12, а радиус вписанной окружности r= дробь: числитель: h, знаменатель: 2 конец дроби =6. Значит, площадь трапеции S= дробь: числитель: 8 плюс 18, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12=156.

Теперь вычислим апофемы боковых граней SK = SL = SM = SN = дробь: числитель: r, знаменатель: косинус 60 градусов конец дроби =12. Тогда площадь поверхности

S_пов=156 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (12 умножить на 18 плюс 12 умножить на 8 плюс 12 умножить на 13 плюс 12 умножить на 13)=468.

 

Ответ: б) 468.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 103.