РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 510751 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702;

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2013.

Простые системы неравенств. Рациональные, иррациональные, показательные неравенства

Решите систему неравенств $система выражений 2 в степени x плюс 80 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше или равно 261, дробь: числитель: x в квадрате минус 16x плюс 39, знаменатель: x в квадрате минус 12x плюс 27 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: x минус 18, знаменатель: x минус 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 8 конец дроби . конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы:

$2 в степени x плюс 80 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше или равно 261 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 261 умножить на 2 в степени x плюс 1280 меньше или равно 0.$

Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда неравенство примет вид: $t в квадрате минус 261t плюс 1280 меньше или равно 0,$ откуда $5 меньше или равно t меньше или равно 256$ возвращаясь к исходной переменной получаем:

$5 меньше или равно 2 в степени x меньше или равно 256 равносильно логарифм по основанию 2 5 меньше или равно x меньше или равно 8.$

2.  Решим второе неравенство системы:

$дробь: числитель: x в квадрате минус 16x плюс 39, знаменатель: x в квадрате минус 12x плюс 27 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: x минус 18, знаменатель: x минус 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 8 конец дроби равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 13 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: x минус 18, знаменатель: x минус 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 8 конец дроби равносильно$

$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 5, знаменатель: x минус 9 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 8 конец дроби меньше или равно 0, новая строка x не равно 3. конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0, новая строка x не равно 3. конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 3, новая строка 3 меньше x\leqslant4, новая строка 8 меньше x меньше 9. конец совокупности .$

3.  Найдем пересечение найденных решений. Поскольку $логарифм по основанию 2 5 меньше 3,$ получаем что множество решений исходной системы: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 5;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 5;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Источники:

ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702;

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2013.

Ключ