PDF-версии: 
Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15.
а) Докажите, что объем пирамиды A1BDC1 втрое меньше объема параллелепипеда.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.
Решение. а) Заметим, что
Полностью аналогично
Тогда
что и требовалось доказать.
б) Опустим из точки A1 перпендикуляр A1E на прямую BD1. Так как ребро A1D1 перпендикулярно плоскости (A1AB), то ребро A1D1 перпендикулярно отрезку A1B, а, значит, отрезок A1E ― высота прямоугольного треугольника A1BD1, откуда
Далее находим:
следовательно, 
Ответ: б) 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |