РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 511223 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 123

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $косинус 3 Пи x плюс синус дробь: числитель: 3 Пи левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =4 умножить на левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите его корни из отрезка [−7; −3].

Решение. а)  Последовательно получаем:

$косинус 3 Пи x плюс синус дробь: числитель: 3 Пи левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =4 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка равносильно косинус 3 Пи x плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 4 косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 4=0 равносильно$ $косинус 3 Пи x плюс синус дробь: числитель: 3 Пи левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =4 левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно косинус 3 Пи x плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 4 косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 4=0 равносильно$

$равносильно 1 плюс косинус 3 Пи x минус косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус 4 косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3=0 равносильно 2 косинус в квадрате дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3=0 равносильно$ $равносильно 1 плюс косинус 3 Пи x минус косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус 4 косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3=0 равносильно$

$равносильно косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5\pm корень из: начало аргумента: 25 минус 24 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5\pm 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =1 конец совокупности . равносильно$

$равносильно косинус дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 3 Пи x, знаменатель: 2 конец дроби =2 Пи n,n принадлежит Z равносильно 3x=4n равносильно x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z .$

б)  Отбор корней сделаем путем решения двойного неравенства относительно целых n.

$минус 7 меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби n меньше или равно минус 3 равносильно минус 21 меньше или равно 4n меньше или равно минус 9 равносильно минус 5,25 меньше или равно n меньше или равно минус 2,25 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 5 , новая строка n= минус 4 , новая строка n= минус 3 . конец совокупности .$ $минус 7 меньше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби n меньше или равно минус 3 равносильно минус 21 меньше или равно 4n меньше или равно минус 9 равносильно$
$равносильно минус 5,25 меньше или равно n меньше или равно минус 2,25 равносильно совокупность выражений новая строка n= минус 5 , новая строка n= минус 4 , новая строка n= минус 3 . конец совокупности .$

$x_1= минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби ;x_2= минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби ;x_3= минус 4.$

Ответ: а) $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 4.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511223

а) $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 4.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 123

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511223	а) $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби n,n принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 4.$