Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те его корни из от­рез­ка [−7; −3].

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Через точки B, D₁, F₁ про­ве­де­на плос­кость

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти DCC₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если из­вест­но, что AB  =  1, AA₁  =  3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

а)  До­ка­жи­те, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сумма длин диа­мет­ров впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей равна сумме длин ка­те­тов.

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны пря­мо­го угла про­ве­де­на вы­со­та CH. Най­ди­те сумму длин ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABC, ACH и BCH, если из­вест­но, что

В рас­по­ря­же­нии на­чаль­ни­ка име­ет­ся бри­га­да ра­бо­чих в со­ста­ве 24 че­ло­век. Их нужно рас­пре­де­лить на день на два объ­ек­та. Если на пер­вом объ­ек­те ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 4t² у. е. Если на вто­ром объ­ек­те ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет t² у. е. Как нужно рас­пре­де­лить на эти объ­ек­ты бри­га­ду ра­бо­чих, чтобы вы­пла­ты на их су­точ­ную зар­пла­ту ока­за­лись наи­мень­ши­ми? Сколь­ко у. е. в этом слу­чае при­дет­ся за­пла­тить ра­бо­чим?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно три ре­ше­ния.

а)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, а тре­тья часть  — точ­ным кубом.

б)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным кубом, а тре­тья часть  — точ­ным квад­ра­том.

в)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, тре­тья часть  — точ­ным кубом, а пятая часть  — точ­ной пятой сте­пе­нью?