Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка [−7; −3].

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Через точки B, D₁, F₁ проведена плоскость

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC₁.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA₁ = 3.

Решите неравенство

а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.

б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет ровно три решения.

а) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным квадратом, а третья часть — точным кубом.

б) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным кубом, а третья часть — точным квадратом.

в) Существует ли натуральное число, половина которого является точным квадратом, третья часть — точным кубом, а пятая часть — точной пятой степенью?