Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость 
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.
а) Пусть для определенности стороны основания, как и в подпункте б) будет равны 1, а боковые ребра равны 3. Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Выпишем координаты некоторых точек: 
Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение секущей плоскости α:
Из первого уравнения: b = d.
Из уравнения (3) вычтем уравнение (2), получим:
Подставив полученные значения а и b в уравнение (3), будем иметь:
Таким образом, уравнение плоскости 
имеет вид: 
или 
А уравнение плоскости DCC1: 
или 
Нормальные векторы этих двух плоскостей:
значит, 
откуда: 
б) Пусть плоскость α пересекает ребро призмы CC1 в точке N, а ребро AA1 в точке M. Подставляя известные абсциссы и ординаты этих точек в уравнение плоскости α, найдем их аппликаты:
Аналогично 
Итак, полученное сечение представляет собой пятиугольник BND1F1M, проекцией которого на нижнее основание призмы будет пятиугольник ABCDF.
Нетрудно найти косинус угла между плоскостью α и нижним основанием призмы. Нормальный вектор плоскости α был найден раньше, он имеет вид:
Нижнее основание призмы имеет уравнение: z = 0, ее нормальный вектор 
Если φ — угол между сечением и указанным основанием призмы, то
Ответ: б) 