СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511224

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC1.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.

Решение.

а) Пусть для определенности стороны основания, как и в подпункте б) будет равны 1, а боковые ребра равны 3. Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Выпишем координаты некоторых точек: Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение секущей плоскости α:

 

Из первого уравнения: b = d.

Из уравнения (3) вычтем уравнение (2), получим:

Подставив полученные значения а и b в уравнение (3), будем иметь:

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: или

А уравнение плоскости DCC1: или

Нормальные векторы этих двух плоскостей:

значит, откуда:

б) Пусть плоскость α пересекает ребро призмы CC1 в точке N, а ребро AA1 в точке M. Подставляя известные абсциссы и ординаты этих точек в уравнение плоскости α, найдем их аппликаты:

Аналогично

Итак, полученное сечение представляет собой пятиугольник BND1F1M, проекцией которого на нижнее основание призмы будет пятиугольник ABCDF.

 

Нетрудно найти косинус угла между плоскостью α и нижним основанием призмы. Нормальный вектор плоскости α был найден раньше, он имеет вид:

Нижнее основание призмы имеет уравнение: z = 0, ее нормальный вектор

Если φ — угол между сечением и указанным основанием призмы, то

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность плоскостей, Площадь сечения, Правильная шестиугольная призма, Сечение, проходящее через три точки