а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что 
а) Пусть катеты заданного прямоугольного треугольника ABC равны a и b, гипотенуза равна c. Прежде докажем, что радиус r окружности, вписанной в этот треугольник, может быть вычислен по формуле 
Будем рассуждать так:
Известно, что
Если нам удастся доказать, что выполняется равенство 
для заданного треугольника, то цель будет достигнута.
(последнее равенство верно для любого прямоугольного треугольника). Следовательно, радиус вписанной окружности равен 
Тогда диаметр этой окружности d = a + b − c.
Как известно, диаметр окружности D, описанной около треугольника ABC, будет равен его гипотенузе, т. е. с.
Таким образом, d + D = a + b − c + c = a + b, что и требовалось доказать.
б) Пусть AC = b, BC = a, AH = b1, BH = a1, CH = h; rc, rb, ra — радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH соответственно. Тогда по сказанному выше:
Ответ: б) 