Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511226

а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.

б) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CH. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, если известно, что CH= корень из { 5}.

Решение.

а) Пусть катеты заданного прямоугольного треугольника ABC равны a и b, гипотенуза равна c. Прежде докажем, что радиус r окружности, вписанной в этот треугольник, может быть вычислен по формуле r= дробь, числитель — a плюс b минус c, знаменатель — 2 . Будем рассуждать так:

Известно, что

r= дробь, числитель — 2S(ABC), знаменатель — a плюс b плюс c = дробь, числитель — ab, знаменатель — a плюс b плюс c .

Если нам удастся доказать, что выполняется равенство  дробь, числитель — ab, знаменатель — a плюс b плюс c =a плюс b минус c для заданного треугольника, то цель будет достигнута.

 дробь, числитель — ab, знаменатель — a плюс b плюс c = дробь, числитель — a плюс b минус c, знаменатель — 2 равносильно левая круглая скобка (a плюс b) плюс c правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка (a плюс b) минус c правая круглая скобка =2ab равносильно {{a} в степени 2 } плюс 2ab плюс {{b} в степени 2 } минус {{c} в степени 2 } минус 2ab=0 равносильно {{a} в степени 2 } плюс {{b} в степени 2 }={{c} в степени 2 }

(последнее равенство верно для любого прямоугольного треугольника). Следовательно, радиус вписанной окружности равен  дробь, числитель — a плюс b минус c, знаменатель — 2 . Тогда диаметр этой окружности d = a + b − c.

Как известно, диаметр окружности D, описанной около треугольника ABC, будет равен его гипотенузе, т. е. с.

Таким образом, d + D = a + b − c + c = a + b, что и требовалось доказать.

б) Пусть AC = b, BC = a, AH = b1, BH = a1, CH = h; rc, rb, ra — радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH соответственно. Тогда по сказанному выше:

{{r}_{c}}= дробь, числитель — b плюс a минус ({{b}_{1}} плюс {{a}_{1}}), знаменатель — 2 ,{{r}_{b}}= дробь, числитель — {{b}_{1}} плюс h минус b, знаменатель — 2 ,{{r}_{a}}= дробь, числитель — {{a}_{1}} плюс h минус a, знаменатель — 2 .

 

{{r}_{c}} плюс {{r}_{b}} плюс {{r}_{a}}= дробь, числитель — b плюс a минус {{b}_{1}} минус {{a}_{1}} плюс {{b}_{1}} плюс h минус b плюс {{a}_{1}} плюс h минус a, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 2h, знаменатель — 2 =h= корень из { 5}.

 

Ответ: б)  корень из { 5}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 123.
Классификатор планиметрии: Треугольники