а) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным квадратом, а третья часть — точным кубом.
б) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным кубом, а третья часть — точным квадратом.
в) Существует ли натуральное число, половина которого является точным квадратом, третья часть — точным кубом, а пятая часть — точной пятой степенью?
а) Пусть X - искомое число. Т. к. оно делится и на 2, и на 3, то 
Х будет наименьшим, если 
где n и k - натуральные числа.
Т. к. 
это точный квадрат (1), а
это точный куб (2), получаем, что 
и 
делятся на 2, а 
и 
делятся на 3. Наименьшие n и k, удовлетворяющие (1) и (2) это 
а число 
б) Аналогично пункту а) где n и k - натуральные числа.
Т. к. это точный куб (3), а это точный квадрат (4), имеем: и делятся на 3, а и делятся на 2. Наименьшие n и k, удовлетворяющие (1) и (2) это 
а число 
в)Аналогично пунктам а) и б) 
где n, k и p - натуральные числа. Т. к. 
точный квадрат (5), а 
точный куб (6) и 
(7) является пятой степенью числа, имеем: 
кратны 2; 
кратны 3, 
кратны 5. Наименьшие n, k и p удовлетворяющие (5), (6) и (7), таковы: 
а число 
Ответ: а)648; б)432; в)