Ре­ше­ние. а)  Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, равна a. Тогда В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат. Вы­бе­рем про­из­воль­ную точку К от­рез­ка AD. По­сколь­ку точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся цен­тром его сим­мет­рии, на сто­ро­не BC этого же квад­ра­та най­дет­ся точка M, сим­мет­рич­ная точке K от­но­си­тель­но O. В за­ви­си­мо­сти от рас­по­ло­же­ния точки M на от­рез­ке AD длина от­рез­ка KM будет ме­нять­ся. Оче­вид­но, наи­мень­шее зна­че­ние KM будет а, когда OK сов­па­дет с вы­со­той ΔAOD, наи­боль­шее зна­че­ние  — в слу­чае, когда точка K сов­па­да­ет либо с А, либо с D. Точка K при этом сов­па­дет либо с C, либо с B  — со­от­вет­ствен­но. То есть

Пусть KM  =  x. Пред­по­ло­жим, что S(PKM)  =  S(ABCD). Най­дем x при вы­пол­не­нии этого ра­вен­ства и до­ка­жем, что най­ден­ное зна­че­ние x удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

Те­перь до­ка­жем не­ра­вен­ство

б)  Пусть Е  — се­ре­ди­на AD. Со­еди­ним от­рез­ка­ми точку E с точ­ка­ми P и О.

До­ка­жем, что KM не­за­ви­си­мо от вы­бо­ра рас­по­ло­же­ния точки K раз­би­ва­ет квад­рат ABCD на две рав­но­ве­ли­кие фи­гу­ры. Дей­стви­тель­но, при сим­мет­рии от­но­си­тель­но O точка M пе­рей­дет в точку K, точка C  — в точку A, точка B в точку D и на­о­бо­рот. Сле­до­ва­тель­но, при той же сим­мет­рии че­ты­рех­уголь­ни­ки ABMK и CDKM пе­рей­дут друг на друга, от­ку­да Далее,

Оче­вид­но, что

Ответ: