СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 512662

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота РО в полтора раза больше, чем сторона основания. 

а) Докажите, что через точку О можно провести такой отрезок KM с концами на сторонах AD и BC соответственно, что  сечение PKM пирамиды будет равновелико основанию пирамиды. 

б) Найдите отношение площади полной поверхности пирамиды PABMK к площади полной поверхности пирамиды PABCD.

Решение.

а) Пусть сторона основания пирамиды, равна a. Тогда В основании пирамиды лежит квадрат. Выберем произвольную точку К отрезка AD. Поскольку точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром его симметрии, на стороне BC этого же квадрата найдется точка M, симметричная точке K относительно O. В зависимости от расположения точки M на отрезке AD длина отрезка KM будет меняться. Очевидно, наименьшее значение KM будет а, когда OK совпадет с высотой ΔAOD, наибольшее значение — в случае, когда точка K совпадает либо с А, либо с D. Точка K при этом совпадет либо с C, либо с B — соответственно. То есть

Пусть KM = x. Предположим, что S(PKM) = S(ABCD). Найдем x при выполнении этого равенства и докажем, что найденное значение x удовлетворяет неравенству

 

 

Теперь докажем неравенство

(неравенство очевидное).

б) Пусть Е — середина AD. Соединим отрезками точку E с точками P и О.

Докажем, что KM независимо от выбора расположения точки K разбивает квадрат ABCD на две равновеликие фигуры. Действительно, при симметрии относительно O точка M перейдет в точку K, точка C — в точку A, точка B в точку D и наоборот. Следовательно, при той же симметрии четырехугольники ABMK и CDKM перейдут друг на друга, откуда

Очевидно, что

 

 

 

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.