Тип 19 № 512876 
Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии
i
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Решение. Обозначим a — первый член прогрессии, n — количество членов, d — её разность. Числа a и n — натуральные. Без ограничения общности можно считать прогрессию неубывающей, тогда число d — натуральное либо равно нулю.
а) Сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна 2a + 4d и является чётным числом, оно не может быть равно 99.
б) Сумма первого и шестого членов этой прогрессии равна 2a + 5d = 9. Если 
то 
что невозможно. Если d — натуральное число, то возможен единственный случай: d = 1. Тогда a = 2, и искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
в) Среднее арифметическое прогрессии равно полусумме её крайних членов, поэтому 
Случай 
невозможен, поэтому 
Кроме того 
значит, 
откуда 
то есть 
Приведем пример, доказывающий точность оценки. Натуральные числа от 1 до 12 составляют прогрессию, среднее арифметическое членов которой равно 6,5, а количество членов равно 12.
Ответ: а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 12.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 12.
512876
а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 12.
PDF-версии: