Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 512876
i

а)  Су­ще­ству­ет ли ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из пяти на­ту­раль­ных чисел, такая, что сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 99?

б)  Ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из шести на­ту­раль­ных чисел. Сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 9. Най­ди­те все числа, из ко­то­рых со­сто­ит эта про­грес­сия.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чле­нов ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из на­ту­раль­ных чисел, равно 6,5. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой про­грес­сии?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим a  — пер­вый член про­грес­сии, n  — ко­ли­че­ство чле­нов, d  — её раз­ность. Числа a и n  — на­ту­раль­ные. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать про­грес­сию не­убы­ва­ю­щей, тогда число d  — на­ту­раль­ное либо равно нулю.

а)  Сумма пер­во­го и пя­то­го чле­нов этой про­грес­сии равна 2a + 4d и яв­ля­ет­ся чётным чис­лом, оно не может быть равно 99.

б)  Сумма пер­во­го и ше­сто­го чле­нов этой про­грес­сии равна 2a + 5d  =  9. Если d=0, то 2a = 9, что не­воз­мож­но. Если d  — на­ту­раль­ное число, то воз­мо­жен един­ствен­ный слу­чай: d  =  1. Тогда a  =  2, и ис­ко­мые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское про­грес­сии равно по­лу­сум­ме её край­них чле­нов, по­это­му 2a плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d=13. Слу­чай d=0 не­воз­мо­жен, по­это­му d боль­ше или равно 1. Кроме того a боль­ше или равно 1, зна­чит, левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d\leqslant11, от­ку­да n минус 1 мень­ше или равно 11, то есть n мень­ше или равно 12.

При­ве­дем при­мер, до­ка­зы­ва­ю­щий точ­ность оцен­ки. На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 со­став­ля­ют про­грес­сию, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чле­нов ко­то­рой равно 6,5, а ко­ли­че­ство чле­нов равно 12.

 

Ответ: а)  нет; б)  2, 3, 4, 5, 6, 7; в)  12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

―  при­мер в п. б;

―  ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

―  при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна
Классификатор алгебры: По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025