PDF-версии: 
а) Решите в целых числах уравнение 
б) Решите в целых числах уравнение 
в) Решите в натуральных числах уравнение 
Решение. а) Заметим для начала, что 
подходят. Также заметим, что если 
то 
откуда 
кратно 97.
Значит, 
тогда 
Все такие пары подходят.
б) Преобразуем уравнение.
Поскольку 1847 простое число, один из множителей равен 
а другой 
Получаем четыре ответа:
(−96, 1828), (1750, −18), (−98, −1866), (−1944, −20).
в) Преобразуем уравнение.
Первый множитель дает остаток 3 при делении на 4, второй — остаток 1. Раскладывая 
на такие два множителя, получаем следующие варианты:
Тогда 
Тогда 
Тогда 
Данный ответ не подходит, поскольку 0 не является натуральным числом.
Тогда 
Данный ответ не подходит, поскольку −456 не является натуральным числом.
Ответ: а) 
при всех целых t; б) (−96, 1828), (1750, −18), (−98, −1866), (−1944, −20); в) (29; 29), (485; 5).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
при всех целых t; б) (−96, 1828), (1750, −18), (−98, −1866), (−1944, −20); в) (29; 29), (485; 5). при всех целых t; б) (−96, 1828), (1750, −18), (−98, −1866), (−1944, −20); в) (29; 29), (485; 5).