PDF-версии: 
В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите 
если известно, что отрезок ВМ в
Решение. а) Пусть O — центр вписанной окружности. Проведём OH ⊥ BC, в треугольнике BHO катет OH лежит напротив угла
Тогда в силу неравенства треугольника имеем: 
что и требовалось доказать.
б) Запишем теорему косинусов для треугольника BOM: 
откуда
Осталось заметить, что
Ответ: 0,65.
Примечание Серегея Пепеляева.
Составители ЕГЭ ошиблись. Описанный в условии задачи треугольник невозможен. Наименьшая возможная длина отрезка BM равна 
когда угол ВСА стремится к нулю, а угол BOM приближается к 120°. Число 2,5 необходимо увеличить.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |