Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те синус \angle BMC, если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,5 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Про­ведём OH ⊥ BC, в тре­уголь­ни­ке  BHO катет OH лежит на­про­тив угла в 30°, по­это­му BO=2OH=2r. Тогда в силу не­ра­вен­ства тре­уголь­ни­ка имеем: BM мень­ше или равно BO плюс OM мень­ше или равно 3r что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BOM: BO в квад­ра­те =BM в квад­ра­те плюс OM в квад­ра­те минус 2BM умно­жить на OM ко­си­нус \angleBMO, от­ку­да

левая круг­лая скоб­ка 2r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби r умно­жить на r ко­си­нус \angleBMO рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 4r в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби r в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те минус 5r в квад­ра­те ко­си­нус \angleBMO рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус \angleBMO= дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби r в квад­ра­те минус 4r в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 5r в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус \angleBMO= дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

Оста­лось за­ме­тить, что

синус \angleBMC= синус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов плюс \angleBMO пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус \angleBMO=0,65.

 

Ответ: 0,65.

 

При­ме­ча­ние Се­ре­гея Пе­пе­ля­е­ва.

Со­ста­ви­те­ли ЕГЭ ошиб­лись. Опи­сан­ный в усло­вии за­да­чи тре­уголь­ник не­воз­мо­жен. Наи­мень­шая воз­мож­ная длина от­рез­ка BM равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7r конец ар­гу­мен­та когда угол ВСА стре­мит­ся к нулю, а угол BOM при­бли­жа­ет­ся к 120°. Число 2,5 не­об­хо­ди­мо уве­ли­чить.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025