Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I  — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка I лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б)  Най­ди­те угол OIH, если

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны вы­со­ты АК и СМ. На них из точек М и К опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры МЕ и КН со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ЕН и АС па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,5 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Квад­рат ABCD впи­сан в окруж­ность. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль BD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние CK и KE, если

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AB и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет пря­мую MN в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AML и BLC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков, если

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и делит каж­дую из сто­рон AB и BC на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну BC.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС с пря­мым углом С точки М и N  — се­ре­ди­ны ка­те­тов АС и ВС со­от­вет­ствен­но, СН  — вы­со­та.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые МН и NH пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть Р  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых АС и NH, а Q  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых BC и МН. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQM, если АН  =  4 и ВН  =  2.

На ка­те­тах AC и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­рах по­стро­е­ны окруж­но­сти, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке M. Точка Q лежит на мень­шей дуге MB окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Пря­мая CQ вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PM и QM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те PQ, если AM  =  1, BM  =  3, а Q  — се­ре­ди­на дуги MB.

Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­го­на­ли АС и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АD в точке M, рав­но­уда­лен­ной от вер­шин В и D. 

а)  До­ка­жи­те, что BM и ВD делят угол В на три рав­ных угла.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до пря­мой СМ, если