Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 513627

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что \angle BAC=\angle OBC плюс \angle OCB.

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если \angle ABC=55 градусов.

Спрятать решение

Решение.

Точка O — центр описанной окружности около треугольника ABC, поэтому \angle BOC = 2\angle BAC. Значит,

180 градусов=\angle BOC плюс \angle OBC плюс \angle OCB = 2\angle BAC плюс \angle BAC=3\angle BAC,

откуда \angle BAC=60 градусов,\angle ABC плюс \angle ACB = 120 градусов,\angle BOC=120 градусов.

Найдём угол BIC:

\angle BIC=180 градусов минус \angle IBC минус \angle ICB=

 

=180 градусов минус дробь: числитель: \angle ABC плюс \angle ACB, знаменатель: 2 конец дроби =180 градусов минус дробь: числитель: 120 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =120 градусов.

Значит, \angle BOC = \angle BIC, поэтому точки B, O, I и C лежат на одной окружности.

б) Найдём угол BHC:

\angle BHC=180 градусов минус \angle HBC минус \angle HCB =180 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус \angle ACB правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 градусов минус \angle ABC правая круглая скобка = \angle ACB плюс \angle ABC = 120 градусов.

Значит, \angle BOC = \angle BIC = \angle BHC, поэтому точки B, O, I, H и C лежат на одной окружности.

Поскольку \angle BAC=60 градусов,\angle ABC = 55 градусов, получаем \angle ACB=65 градусов. В равнобедренном треугольнике BOC имеем

\angle OBC= дробь: числитель: 180 градусов минус \angle BOC, знаменатель: 2 конец дроби =30 градусов.

Прямая BH перпендикулярна AC, поэтому \angle HBC = 90 градусов минус \angle ACB = 25 градусов.

Значит, \angle HBO = \angle OBC минус \angle HBC = 5 градусов. Биссектриса угла треугольника лежит внутри угла, образованного медианой и высотой, исходящими из той же вершины, поэтому лучи BH, BI и BO пересекают дугу окружности в указанном на рисунке порядке. Четырёхугольник BOIH вписан в окружность, поэтому

\angle OIH = 180 градусов минус \angle HBO=175 градусов.

 

Ответ: б) 175°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 513430: 513627 513449 514189 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 2 (только часть С)
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Михаил Серяков 03.06.2016 23:00

Нельзя ли вместо того, чтобы выражать угол BIC из треугольника BIC сказать, что он равен углу BOC, т.к. они опираются на одну и ту же дугу?

Константин Лавров

Вообще-то, мы именно это и доказываем. Мы изначально ничего не знаем про точку I, поэтому нет никакого вписанного угла BIC.

Анна Березовская 03.02.2017 14:11

Если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны, а разве есть обратная теорема о том, что если углы равны, и опираются на одну общую сторону, то они являются вписанными в окружность?

Константин Лавров

Нет. Есть теорема о том, что если имеется два равных угла и один из них вписан в окружность, то и второй вписан ту же окружность.