Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что 
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если 
Значит,
поэтому точки B, O, I и C лежат на одной окружности.
поэтому точки B, O, I, H и C лежат на одной окружности.
получаем 
В равнобедренном треугольнике BOC имеем 
Биссектриса угла треугольника лежит внутри угла, образованного медианой и высотой, исходящими из той же вершины, поэтому лучи BH, BI и BO пересекают дугу окружности в указанном на рисунке порядке. Четырёхугольник BOIH вписан в окружность, поэтому
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 6, а ∠LMN = 120°.
то есть 
Следовательно,
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 6, а ∠LMN = 120°.
Нельзя ли вместо того, чтобы выражать угол BIC из треугольника BIC сказать, что он равен углу BOC, т.к. они опираются на одну и ту же дугу?
Вообще-то, мы именно это и доказываем. Мы изначально ничего не знаем про точку I, поэтому нет никакого вписанного угла BIC.
Если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны, а разве есть обратная теорема о том, что если углы равны, и опираются на одну общую сторону, то они являются вписанными в окружность?
Нет. Есть теорема о том, что если имеется два равных угла и один из них вписан в окружность, то и второй вписан ту же окружность.