Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 514189

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.

а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.

б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 6, а ∠LMN = 120°.

Спрятать решение

Решение.

а) Касательная LM параллельна хорде KN, значит, ∠KNL = ∠MLN, а так как ∠MLN = ∠LKN как угол между касательной и хордой, треугольник KLN равнобедренный с основанием KN.

Поскольку ML = MN как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки,

треугольник LMN также равнобедренный с основанием LN.

Углы при основаниях равнобедренных треугольников LMN и LKN равны, следовательно, эти треугольники подобны.

б) Угол при вершине равнобедренного треугольника KLN равен 120°, значит, его высота LH вдвое меньше боковой стороны LN= дробь: числитель: KN, знаменатель: корень из 3 конец дроби =2 корень из 3 , то есть LH= корень из 3 . Следовательно,

S_KLN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KN умножить на LH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на корень из 3 =3 корень из 3 .

 

Ответ: б) 3 корень из 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 513430: 513627 513449 514189 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 3
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники