Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 513922

Прямая, проходящая через вершину В прямоугольника ABCD, перпендикулярна диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если BC=6 корень из (21) .

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что \angle ADB=\angle DBC как накрест лежащие при перечесении параллельных прямых секущей, \angle MBD=\angle MDB как углы равнобедренного треугольника BMD. Значит, \angle MBD=\angle DBC. Далее имеем: \angle MBA=90 градусов минус \angle CAB=\angle DAC=\angle DBC. Поэтому все три части угла равны (и равны 30°).

б) Ясно, что расстояние от A до CM ровно вдвое больше, поскольку O (точка пересечения диагоналей) — середина AC. Значит,

d(O,MC)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d(A,MC)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2S_AMC, знаменатель: MC конец дроби = дробь: числитель: AM умножить на DC, знаменатель: 2MC конец дроби .

Заметим, что  дробь: числитель: DC, знаменатель: BC конец дроби = тангенс 30 градусов, откуда DC=AB=6 корень из (7) . Далее AM=AB умножить на тангенс 30 градусов=2 корень из (21) , MD=AD минус AM=4 корень из (21) . Поэтому

 дробь: числитель: AM умножить на DC, знаменатель: 2MC конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из (21) умножить на 6 корень из (7) , знаменатель: 2 корень из (MD в степени 2 плюс DC в степени 2 конец дроби ) = дробь: числитель: 42 корень из (3) , знаменатель: корень из (16 умножить на 21 плюс 36 умножить на 7 конец дроби ) = дробь: числитель: 42 корень из (3) , знаменатель: 14 корень из (3 конец дроби ) =3.

 

Ответ: 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 513922: 513915 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 2016. Досрочная волна, резервная волна. Вариант А. Ларина (часть С)
Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства