На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q — середина дуги MB.
а) Поскольку 
точки M, A и B лежат на одной прямой, значит, отрезок CM — высота треугольника ABC (см. рис.).
Четырёхугольники AMPC и BQMC вписаны в окружности, поэтому
откуда 
б) Из прямоугольного треугольника ABC получаем: 
откуда 
Точка Q — середина дуги MB, поэтому CQ — биссектриса угла BCM.
Значит,
Получаем: 
как хорды стягивающие равные дуги. Таким образом, 
Ответ: б) 2.
Приведем другое решение пункта а).
Четырехугольник ACPM вписан в окружность, поэтому 
Углы CPM и MPQ смежные, поэтому 
Углы MBC и MQC опираются на одну и ту же дугу, поэтому 
Следовательно, треугольники ABC и MQP подобны по двум углам, тогда 