СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514626

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.

а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.

б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q — середина дуги MB.

Решение.

а) Поскольку точки M, A и B лежат на одной прямой, значит, отрезок CM — высота треугольника ABC (см. рисунок).

Четырёхугольники AMPC и BQMC вписаны в окружности, поэтому

откуда

б) Из прямоугольного треугольника ABC получаем:

откуда

Точка Q — середина дуги MB, поэтому CQ — биссектриса угла BCM.

Значит,

Получаем: как хорды стягивающие равные дуги. Таким образом,

 

Ответ: б) 2.


Аналоги к заданию № 514626: 514640 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 701 (C часть).