На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MC окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 6, BM = 2, а Q — середина дуги MC.
а) Поскольку
точки M, A и B лежат на одной прямой, значит, отрезок CM — высота треугольника ABC (см. рис.).
Четырёхугольники AMPC и BQMC вписаны в окружности, поэтому
б) Из прямоугольного треугольника ABC получаем: 
откуда 
Точка Q — середина дуги MC, поэтому BQ — биссектриса угла CBM. Значит,
Получаем: 
как хорды, стягивающие равные дуги. Таким образом, 
Ответ: б) 4.