Ре­ше­ние. а)  Пусть R  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых PQ и A₁C₁, а K  — се­ре­ди­на B₁C₁ (см. рис.). Тогда M  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AR и CC₁.

Тре­уголь­ни­ки PKQ и PC₁R по­доб­ны, от­ку­да

От­ре­зок C₁M  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка AA₁R, по­сколь­ку A₁C₁  =  C₁R и пря­мые AA₁ и CC₁ па­рал­лель­ны. Зна­чит,

то есть M  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Рас­сто­я­ние от точки A₁ до плос­ко­сти APQ равно вы­со­те h пи­ра­ми­ды A₁AQR, опу­щен­ной из вер­ши­ны A₁.

Объём пи­ра­ми­ды A₁AQR:

C дру­гой сто­ро­ны, объём пи­ра­ми­ды A₁AQR:

Зна­чит,

В тре­уголь­ни­ке AQR на­хо­дим сто­ро­ны:

Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AQR равна

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: