В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, 
Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости APQ.
а) Пусть R — точка пересечения прямых PQ и A1C1, а K — середина B1C1 (см. рис.). Тогда M — точка пересечения прямых AR и CC1.
Треугольники PKQ и PC1R подобны, откуда
Отрезок C1M — средняя линия треугольника AA1R, поскольку A1C1 = C1R и прямые AA1 и CC1 параллельны. Значит,
то есть M — середина CC1.
б) Расстояние от точки A1 до плоскости APQ равно высоте h пирамиды A1AQR, опущенной из вершины A1.
Объём пирамиды A1AQR: 
C другой стороны, объём пирамиды A1AQR:
Значит,
В треугольнике AQR находим стороны:
Площадь равнобедренного треугольника AQR равна
Следовательно,
Ответ: 