Тип 19 № 514743 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
Решение. а) Если из 6 партий шахматист выиграл одну, то показатель «победы» равен 17.
б) Если в первых 200 партиях были выиграны 100, сыграны вничью 5, а проиграны 95, то показатель победы равен 50, показатель ничьих равен 3, а показатель поражений равен 47. Если следующая партия была выиграна, то показатель побед остаётся равным 50, показатель ничьих становится равным 2, а показатель поражений оказывается равным 48.
в) Если партий было 49 или меньше, то суммарный процент побед и ничьих меньше 98. При округлении числа происходит увеличение не более чем на 0,5, поэтому сумма показателей побед и ничьих меньше 99. Значит, показатель поражений больше 1.
Если партий было ровно 50, то проценты побед и ничьих целые, округления не происходит. Значит, показатель поражений больше 1.
Пусть была сыграна 51 партия, первая из которых была проиграна, а среди остальных 50 было 12 побед и 38 ничьих. Тогда показатель побед равен 24, показатель ничьих равен 75, а показатель поражений равен 1.
Ответ: а) да; б) да; в) 51.
Приведем алгебраическое решение пункта в) Татьяны Кравченко из Санкт-Петербурга.
Пусть a — число выигранных партий, b — число партий, сыгранный вничью, тогда общее число сыгранных партий равно 
Далее, пусть A — показатель побед, В — показатель ничьих, заметим, что 
и 
Сложив эти неравенства и учитывая, что A + B = 99, получаем:
Но если число сыгранных партий равно 50, то А и В целые, поэтому число сыгранных партий не менее 51. Если была сыграна 51 партия, первая из которых была проиграна, а среди остальных 50 было 12 побед и 38 ничьих, то показатель побед равен 24, показатель ничьих равен 75, а показатель поражений равен 1.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. a; ― обоснованное решение п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) да; в) 51.
514743
а) да; б) да; в) 51.
PDF-версии: