№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 19 № 517489

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а) Приведите пример задуманных числел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в) Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.

Решение.

а) Для чисел 2, 3, 5, 5 на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б) Среди задуманных чисел есть число 11, так как иначе оно бы не было записано на доску. Поскольку задуманные числа натуральные, наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Значит, среди чисел записанного набора должно быть произведение всех чисел, кроме 11, то есть 550 : 11 = 50. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого будет выписан набор из условия.

в) Наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Число 91 раскладывается на простые множители как 7 · 13. Значит, было задумано либо число 91 и четыре единицы, либо пара чисел 7 и 13 и три единицы.

 

Ответ: а) 2, 3, 5, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 91 или 1, 1, 1, 7, 13.