Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске написаны только кратные 3 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.
а) Может ли быть записано число 230?
б) Можно ли обойтись без числа 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое или оканчивается на 9, или четное, а сумма чисел равна 877.
а) Может ли быть на доске 27 четных чисел?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 9 может быть на доске?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2502.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 или на 7?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли значение S быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма написанных чисел равна 2786.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?
б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 15.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а) Приведите пример, когда S < 14.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 11?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 11?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных числел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?
в) Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число A.
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Последовательность 
состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mk — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что 
а) Приведите пример такой последовательности, для которой 
б) Существует ли такая последовательность, для которой 
в) Найдите наименьшее возможное значение 
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.