Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517756

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?

в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, из числа 4675 получается 4106137125.

б) Заметим, что если в изначальном числе была цифра 9 (не в последнем разряде), то в получившемся числе справа от нее должна стоять цифра 1 или 9. Значит, цифра 9 в числе 27593118 могла получиться только в результате сложения соседних цифр. Но сумма 5 + 3 не равна 9, поэтому такое число не могло получиться.

в) Пусть изначальное трехзначное число равно 100a плюс 10b плюс c, где a, b и c — цифры. Получившееся число будет семизначным, только если a плюс b\geqslant10 и b плюс c\geqslant10, а во всех остальных случаях полученное число будет меньше 1 000 000.

Если a плюс b\geqslant10иb плюс c\geqslant10, то полученное число будет равно

a умножить на 10 в степени 6 плюс 1 умножить на 10 в степени 5 плюс левая круглая скобка a плюс b минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 в степени 4 плюс b умножить на 10 в кубе плюс 1 умножить на 10 в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс c минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 плюс c.

Сумма цифр полученного числа равна

a плюс 1 плюс левая круглая скобка a плюс b минус 10 правая круглая скобка плюс b плюс 1 плюс левая круглая скобка b плюс c минус 10 правая круглая скобка плюс c=2a плюс 3b плюс 2c минус 18.

При а = b=8 получившееся число будет больше, чем при любых других a и b, вне зависимости от c. В этом случае 2a плюс 3b плюс 2c минус 18 делится на 9 только при c = 7. Таким образом, максимальное число получается из числа 887 и равно 8168157.

 

Ответ: а) 4675; б) нет; в) 8168157.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в4
Приведем верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте в

ИЛИ

обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в

3
Приведен верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б

ИЛИ

обснованно получен верный ответ в пункте в

2
Приведен верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517744: 517756 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2017. Резервная волна. Вариант 502 (C часть), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017
Классификатор алгебры: Числа и их свойства