Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517744

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, из числа 2847 получается 2108124117.

б) Заметим, что если в изначальном числе была цифра 9 (не в последнем разряде), то в получившемся числе справа от нее должна стоять цифра 1 или 9. Значит, цифра 9 в числе 37494128 могла получиться только в результате сложения соседних цифр. Но сумма 4 + 4 не равна 9, поэтому такое число не могло получиться.

в) Пусть изначальное трехзначное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры. Получившееся число будет семизначным, только если a плюс b\geqslant10 и b плюс c\geqslant10, а во всех остальных случаях полученное число будет меньше 1 000 000.

Если a плюс b\geqslant10иb плюс c\geqslant10, то полученное число будет равно

a умножить на 10 в степени 6 плюс 1 умножить на 10 в степени 5 плюс левая круглая скобка a плюс b минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 в степени 4 плюс b умножить на 10 в кубе плюс 1 умножить на 10 в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс c минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 плюс c.

Знакочередующая сумма цифр полученного числа равна

a – 1 + (a + b – 10) – b + 1 – (b + c – 10) + c = 2a – b.

При a = 9 получившееся число будет больше, чем при любом другом a, вне зависимости от b и c. В этом случае 2a – b делится на 11 только при b = 7 и любом c. При a = 9 и b = 7 максимальное число получится для c = 9.

Таким образом, максимальное число получается из числа 979 и равно 9167169.

 

Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в4
Приведем верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте в

ИЛИ

обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в

3
Приведен верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б

ИЛИ

обснованно получен верный ответ в пункте в

2
Приведен верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517744: 517756 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2017. Резервный день. Вариант 501 (C часть), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017
Классификатор алгебры: Числа и их свойства