Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517458

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма написанных чисел равна 2786.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?

Спрятать решение

Решение.

а) Если на доске написано по 15 чисел, оканчивающихся на 4 и на 8, то их сумма оканчивается на 0. Это противоречит тому, что сумма 2786.

б) Пусть на доске ровно четыре числа, оканчивающихся на 8. Тогда на доске написано 26 чисел, оканчивающихся на 4. Их сумма не меньше, чем сумма 26 написанных чисел, оканчивающихся на 4: 4 плюс 14 плюс ... плюс 254= дробь: числитель: 258 умножить на 26, знаменатель: 2 конец дроби =3354. Это противоречит тому, что сумма равна 2786.

в) Пусть на доске n чисел, оканчивающихся на 8 и 30 − n, оканчивающихся на 4. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 4, не меньше суммы

4 плюс 14 плюс ... плюс левая круглая скобка 4 плюс 10 левая круглая скобка 29 минус n правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 8 плюс 10 левая круглая скобка 29 минус n правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =5n в квадрате минус 299n плюс 4470.

Сумма чисел, оканчивающихся на 8, не меньше суммы

8 плюс 18 плюс ... плюс левая круглая скобка 8 плюс 10 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 16 плюс 10 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка n, знаменатель: 2 конец дроби =5n в квадрате плюс 3n.

Таким образом, 2786\geqslant10n в квадрате минус 296n плюс 4470 равносильно 5n в квадрате минус 148n плюс 842\leqslant0, откуда n\geqslant8, так как n принадлежит N .

Если на доске 8 чисел, оканчивающаяся на 8, и 22 числа, оканчивающихся на 4, то их сумма оканчивается на 2. Значит, чисел, оканчивающихся на 8, больше 8. Приведём пример 9 чисел, оканчивающихся на 8, и 21 число, оканчивающееся на 4, с суммой 2786: 8, 18, ..., 68, 78, 258, 4, 14, ..., 194, 204.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517451: 517437 517444 517458 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 303 (C часть).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства