Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517444

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2502.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 или на 7?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Спрятать решение

Решение.

а) Если на доске написано по 15 чисел, оканчивающихся на 3 и на 7, то их сумма оканчивается на 0. Это противоречит тому, что сумма 2502.

б) Пусть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 3. Тогда на доске написано 28 чисел, оканчивающихся на 7. Их сумма не меньше, чем сумма 28 написанных чисел, оканчивающихся на 7: 7 плюс 17 плюс ...277= дробь: числитель: 284 умножить на 28, знаменатель: 2 конец дроби =3976. Это противоречит тому, что сумма равна 2502.

в) Пусть на доске n чисел, оканчивающихся на 3 и 30 − n, оканчивающихся на 7. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 7, не меньше суммы

7 плюс 17 плюс ... плюс левая круглая скобка 7 плюс 10 левая круглая скобка 29 минус n правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 14 плюс 10 левая круглая скобка 29 минус n правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =5n в квадрате минус 302n плюс 4560.

Сумма чисел, оканчивающихся на 3, не меньше суммы

3 плюс 13 плюс ... плюс левая круглая скобка 3 плюс 10 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 6 плюс 10 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка n, знаменатель: 2 конец дроби =5n в квадрате минус 2n.

 

Таким образом, 2502\geqslant10n в квадрате минус 304n плюс 4560 равносильно 5n в квадрате минус 152n плюс 1029\leqslant0, откуда n\geqslant11, так как n принадлежит N .

Если на доске 11 чисел, оканчивающаяся на 3, и 19 чисел, оканчивающихся на 7, то их сумма оканчивается на 6. Значит, чисел, оканчивающихся на 3, больше 11. Приведём пример 12 чисел, оканчивающихся на 3, и 18 чисел, оканчивающихся на 7, с суммой 2502: 3, 13, ..., 83, 93, 103, 263, 7, 17, ..., 167, 177.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517451: 517437 517444 517458 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 302 (C часть).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства