Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517584

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли быть 24 четных числа?

б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например:

2 плюс 4 плюс ... плюс 44 плюс 46 плюс 66 плюс 7 плюс 17 плюс 27 плюс 37 плюс 47 плюс 57= дробь: числитель: 2 плюс 46, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 23 плюс 66 плюс 192=810.

 

б) Пусть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7. Тогда на доске написано 28 четных чисел. Их сумма не меньше, чем:

2 плюс 4 плюс ... плюс 54 плюс 56= дробь: числитель: 58 умножить на 28, знаменатель: 2 конец дроби =812.

Это противоречит тому, что сумма равна 810, то есть на доске не может быть двух чисел, оканчивающихся на 7.

 

в) Заметим, что число 810 кратно 2, сумма четных чисел кратна двум, тогда и сумма чисел, оканчивающихся на 7, тоже кратна двум. Чтобы сумма нечетных чисел делилась на два, слагаемых должно быть четное количество. В пункте б) показано, что на доске не может быть два числа, оканчивающихся на 7, тогда наименьшее возможное количество таких чисел — 4.

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, оканчивающихся на 7:

 левая круглая скобка 2 плюс 4 плюс ... плюс 30 плюс 32 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 36 плюс 38 плюс ... плюс 52 плюс 54 правая круглая скобка плюс 7 плюс 17 плюс 27 плюс 37= дробь: числитель: 2 плюс 32, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 плюс дробь: числитель: 36 плюс 54, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 плюс 88=810.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. a;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517584: 517585 517435 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, А. Ларин: Тренировочный вариант № 216.