а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 9, бо­ко­вое ребро равно 14. Точка K при­над­ле­жит ребру A₁B₁ и делит его в от­но­ше­нии 2 : 7, счи­тая от вер­ши­ны A₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки А, С и K, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб., а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб. Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

Дан угол ве­ли­чи­ной 120° с вер­ши­ной С. Вне угла на про­дол­же­нии его бис­сек­три­сы взята точка О так, что С цен­тром в точке О по­стро­е­на окруж­ность ра­ди­у­са 3, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны угла в точ­ках А и В.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной сто­ро­на­ми угла и дугой окруж­но­сти, за­клю­чен­ной между ними.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел. Какие-⁠то из них крас­ные, а какие-⁠то зелёные. Крас­ные числа крат­ны 8, а зелёные числа крат­ны 3. Все крас­ные числа от­ли­ча­ют­ся друг от друга, как и все зелёные. Но между крас­ны­ми и зелёными могут быть оди­на­ко­вые.

а)  Может ли сумма всех чисел, за­пи­сан­ных на доске, быть мень­ше 1395, если на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1066, если толь­ко одно число крас­ное?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел, ко­то­рое может быть при сумме 1066.