В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 9, боковое ребро равно 14. Точка K принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 2 : 7, считая от вершины A1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и K, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
а) Плоскость сечения пересекает основание призмы ABCD по прямой AC, следовательно, параллельное основание A1B1C1D1 сечение пересекает по прямой, параллельной прямой AC и проходящей через точку K. Пусть L — точка пересечения этой прямой с ребром B1C1. Таким образом, сечение — четырехугольник AKLC с двумя параллельными сторонами AC и KL. Заметим, что треугольники B1KL и B1A1C1 подобны с коэффициентом подобия
то есть
Следовательно, две другие стороны сечения AK и CL не параллельны, и четырехугольник AKLC является трапецией. Из подобия также следует, что KA1 = LC1, следовательно, треугольники AKA1 и CLC1 равны, а, значит, AK = CL, то есть трапеция AKLC — равнобедренная.
б) Из вершин трапеции K и L на основание AC опустим высоты KP и LQ. Находим:
Таким образом, площадь сечения равна
Ответ: б) 