PDF-версии: 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 9, боковое ребро равно 14. Точка K принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 2 : 7, считая от вершины A1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и K, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решение. а) Плоскость сечения пересекает основание призмы ABCD по прямой AC, следовательно, параллельное основание A1B1C1D1 сечение пересекает по прямой, параллельной прямой AC и проходящей через точку K. Пусть L — точка пересечения этой прямой с ребром B1C1. Таким образом, сечение — четырехугольник AKLC с двумя параллельными сторонами AC и KL. Заметим, что треугольники B1KL и B1A1C1 подобны с коэффициентом подобия
то есть
Следовательно, две другие стороны сечения AK и CL не параллельны, и четырехугольник AKLC является трапецией. Из подобия также следует, что KA1 = LC1, следовательно, треугольники AKA1 и CLC1 равны, а, значит, AK = CL, то есть трапеция AKLC — равнобедренная.
б) Из вершин трапеции K и L на основание AC опустим высоты KP и LQ. Находим:
Таким образом, площадь сечения равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |