Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517572

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.

Спрятать решение

Решение.

а) Посмотрим на сумму нескольких зелёных чисел. Так как сумма будет минимальной тогда, когда числа минимальны, они должны составлять арифметическую прогрессию, с первым членом a_1=5 и разностью d=5 (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В случае, если на доске записано 30 зеленых чисел их сумма равна:

S_30= дробь: числитель: 2 умножить на a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n= дробь: числитель: 10 плюс 29 умножить на 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 30=2325.

Теперь заменим зеленое число 40 на красное число 35. Сумма 29 оставшихся зелёных чисел и красного числа 35 будет равна

2325 минус 40 плюс 35=2320 меньше 2325.

При этом на доске написаны только кратные 5 числа.

 

б) Как было показано в в пункте а) минимально возможная сумма 30 зеленых чисел — 2325. Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из суммы 30 чисел самое большое из написанных — 150: 2325 минус 150=2175.

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим наименьшее красное число, то есть 7:  2175 плюс 7=2182 больше 1467.

Минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467. Значит, если на доске написано только одно красное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

 

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Как было показано выше, при одном, самом маленьком, красном числе сумма всех чисел больше, чем 1467. Это означает, что нам необходимо заменять зеленые числа на красные, причем, поскольку нам надо, чтобы красных чисел было минимальное число, то необходимо заменить минимальное возможное количество зеленых чисел, то есть наибольшие зеленые числа заменять на наименьшие красные. Тогда суммы красных S_кр и зелёных S_зел чисел, аналогично с предыдущими пунктами будут суммами арифметических прогрессий:

S_кр= дробь: числитель: 7 плюс 7 плюс 7 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n= дробь: числитель: 7 плюс 7n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n,S_зел= дробь: числитель: 5 плюс 5 плюс 5 левая круглая скобка 30 минус n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка = дробь: числитель: 5 плюс 5 левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка .

Сумма всех чисел S должна быть по крайней мере меньше или равна 1467, тогда:

S=S_кр плюс S_зел= дробь: числитель: 7 плюс 7n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n плюс дробь: числитель: 5 плюс 5 левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка меньше или равно 1467; 6n в квадрате минус 149n плюс 858 \leqslant0 \undersetn принадлежит N \mathop равносильно 10 меньше или равно n меньше или равно 15.

Значит, необходимо заменить не менее 10 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким образом, сумма чисел, записанных на доске, составит:

S=S_9кр плюс S_21зел= дробь: числитель: 5 плюс 105, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 21 плюс дробь: числитель: 7 плюс 63, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9=1155 плюс 315=1470.

Заменим теперь 80 на 77:

S= левая круглая скобка S_9кр плюс 77 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_21зел минус 80 правая круглая скобка = 315 плюс 77 плюс 1155 минус 80=1467.

Таким образом, получается, что наименьшее количество красных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

 

Ответ:а) Да; б) Нет; в) 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. a;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517572: 517579 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Фёдор Солдаткин 01.03.2019 23:32

В пункте б) неверный пример 29 зелёных и 1 красного числа, т.к. в ряду 5, 10, 15... есть числа, кратные 7: 35, 70 и т.д., а значит, что красных чисел в этом примере больше 1

Александр Иванов

Число 35 может быть красным, а может быть зелёным (см. условие задачи). В приведенном примере оно зелёное.

Иван Панферов 05.03.2019 22:20

А разве в пункте а) могут быть числа кратные 7? Например такие, как 70, 105

Александр Иванов

Могут. Это не противоречит условию.

кирилл чудинов 12.03.2019 19:48

в пункте А ,по-моему, не будет число ниже 2325, потому что есть числа кратные как 5, так и 7, а по условию задачи сказано ТОЛЬКО кратные 5

Александр Иванов

Фраза "...на доске написаны только кратные 5 числа" означает, что нет чисел, которые не кратны 5

кирилл чудинов 12.03.2019 19:50

тем более зачем заменять число 35 на 40 , если число 35 уже включено в счёт, когда по условию все числа разные но кратные ТОЛЬКО 5

Александр Иванов

Внимательно прочитайте последнее предложение в первом абзаце условия задачи.