Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517579

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске написаны только кратные 3 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть на доске записано 30 зеленых чисел, тогда последнее число можно найти по формуле:

a_30=a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =3 плюс 3 левая круглая скобка 30 минус 1 правая круглая скобка =90

Тогда сумма всех зеленых чисел составит 1395.

 

Теперь заменим зеленое число 27 на красное число 24, тогда сумма чисел написанных на доске будет равна

1395 минус 27 плюс 24=1392 меньше 1395.

При этом на доске написаны только кратные 3 числа.

 

б) Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, приведённая в пункте а) - минимальна, так как минимально значение a_1=3(при больших значениях a_1 сумма будет возрастать). Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из минимально возможной суммы 30 зелёных чисел самое большое - последнее число, равное 90:

1395 минус 90=1305

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим к минимально возможной сумме 29 зелёных чисел минимально возможное красное число, то есть число 8:

1305 плюс 8=1313

Таким образом, получаем, что минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел 1313 больше 1066, а это означает, что, если на доске написано только 1 красное число, то сумма чисел не может быть равна 1066.

 

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Суммы красных S_кр и зелёных S_зел чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии будут составлять:

S_кр= дробь: числитель: 8 плюс 8 плюс 8 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n= дробь: числитель: 8 плюс 8n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n

и

S_зел= дробь: числитель: 3 плюс 3 плюс 3 левая круглая скобка 30 минус n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 плюс 3 левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка

Сумма всех чисел So должна быть по крайней мере меньше или равна 1066, тогда:

S_o=S_кр плюс S_зел= дробь: числитель: 8 плюс 8n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n плюс дробь: числитель: 3 плюс 3 левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус n правая круглая скобка меньше или равно 1066 равносильно 11n в квадрате минус 175n плюс 658 \leqslant0 \undersetn принадлежит N \mathop равносильно 7 меньше или равно n \leqslant9

Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким образом, сумма записанных на доске чисел составит:

S_o=S_6кр плюс S_24зел= дробь: числитель: 3 плюс 72, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 24 плюс дробь: числитель: 8 плюс 48, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6=900 плюс 168=1068

Теперь заменим еще 66 на 64, получим:

S_o= левая круглая скобка S_6кр плюс 64 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_24зел минус 66 правая круглая скобка = 168 плюс 64 плюс 900 минус 66=1066

 

Таким образом, наименьшее количество красных чисел равно 7.

 

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. a;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517572: 517579 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Андрей Иванов 13.05.2018 09:11

"Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел"

А заменяют 6.

Александр Иванов

А в следующем абзаце написано: "Теперь заменим еще..."