СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 517579

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел. Какие-то из них крас­ные, а какие-то зелёные. Крас­ные числа крат­ны 8, а зелёные числа крат­ны 3. Все крас­ные числа от­ли­ча­ют­ся друг от друга, как и все зелёные. Но между крас­ны­ми и зелёными могут быть оди­на­ко­вые.

а) Может ли сумма всех чисел, за­пи­сан­ных на доске, быть мень­ше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1066, если толь­ко одно число крас­ное?

в) Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел, ко­то­рое может быть при сумме 1066.

Решение.

а) Пусть на доске записано 30 зеленых чисел, тогда последнее число можно найти по формуле:

Тогда сумма всех зеленых чисел составит 1395.

 

Теперь заменим зеленое число 27 на красное число 24, тогда сумма чисел написанных на доске будет равна

При этом на доске написаны только кратные 3 числа.

 

б) Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, приведённая в пункте а) - минимальна, так как минимально значение (при больших значениях сумма будет возрастать). Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из минимально возможной суммы 30 зелёных чисел самое большое - последнее число, равное 90:

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим к минимально возможной сумме 29 зелёных чисел минимально возможное красное число, то есть число 8:

Таким образом, получаем, что минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел , а это означает, что, если на доске написано только 1 красное число, то сумма чисел не может быть равна 1469.

 

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Суммы красных и зелёных чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии будут составлять:

и

Сумма всех чисел должна быть по крайней мере меньше или равна 1066, тогда:

Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким образом сумма записанных на доске чисел составит:

Теперь заменим еще 66 на 64, получим:

 

Таким образом, наименьшее количество красных чисел равно 7.

 

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 7.


Аналоги к заданию № 517572: 517579 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Андрей Иванов 13.05.2018 09:11

"Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел"

А заменяют 6.

Александр Иванов

А в следующем абзаце написано: "Теперь заменим еще..."