СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 517579

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске написаны только кратные 3 числа?

б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.

Решение.

а) Пусть на доске записано 30 зеленых чисел, тогда последнее число можно найти по формуле:

Тогда сумма всех зеленых чисел составит 1395.

 

Теперь заменим зеленое число 27 на красное число 24, тогда сумма чисел написанных на доске будет равна

При этом на доске написаны только кратные 3 числа.

 

б) Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, приведённая в пункте а) - минимальна, так как минимально значение (при больших значениях сумма будет возрастать). Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из минимально возможной суммы 30 зелёных чисел самое большое - последнее число, равное 90:

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим к минимально возможной сумме 29 зелёных чисел минимально возможное красное число, то есть число 8:

Таким образом, получаем, что минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел , а это означает, что, если на доске написано только 1 красное число, то сумма чисел не может быть равна 1469.

 

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Суммы красных и зелёных чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии будут составлять:

и

Сумма всех чисел должна быть по крайней мере меньше или равна 1066, тогда:

Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким образом сумма записанных на доске чисел составит:

Теперь заменим еще 66 на 64, получим:

 

Таким образом, наименьшее количество красных чисел равно 7.

 

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 7.


Аналоги к заданию № 517572: 517579 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках, Числовые наборы на карточках и досках
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
Андрей Иванов 13.05.2018 09:11

"Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел"

А заменяют 6.

Александр Иванов

А в следующем абзаце написано: "Теперь заменим еще..."