Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517472

Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 14.

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 11?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 11?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, если 28 студентов писали обе контрольные работы и получили по 15 баллов за каждую, 2 студента писали первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 2 студента писали вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 14, а S= дробь: числитель: 15 умножить на 28 плюс 0, знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 105, знаменатель: 8 конец дроби меньше 14.

б) Пусть a  — сумма баллов всех студентов, которые писали только одну контрольную работу, b  — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы. Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 14, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 14. Всего было написано 34 контрольные работы. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно 14 умножить на 34=476. Тогда получаем: a плюс b=11 умножить на 32=352,  a плюс b плюс c=476, откуда c=124. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Значит, такая ситуация невозможна.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы. Тогда получаем:

a плюс b=11 умножить на 32=352,\; a плюс b плюс c=14 умножить на левая круглая скобка 32 плюс k правая круглая скобка =448 плюс 14k,

откуда c=96 плюс 14k. С другой стороны, c меньше или равно 20k, поэтому 96 плюс 14k\leqslant20k равносильно 96\leqslant6k равносильно k\geqslant16.

Приведём пример, когда k=16. Если b=c=320 (например, 16 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую), а a=32 (например, по 8 студентов писали каждую из контрольных работ и получили по 2 балла), то условия задачи выполнены.

 

Ответ: а) например, если 28 студентов писали обе контрольные и получили по 15 баллов за каждую, по 2 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов за каждую; б) нет; в) 16.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517465: 517519 517472 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 402 (C часть).