Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517519

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 15.

б) Могло ли значение S быть равным 5?

в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а S= дробь: числитель: 20 умножить на 18 плюс 0, знаменатель: 28 конец дроби = дробь: числитель: 90, знаменатель: 7 конец дроби меньше 15.

б) Пусть а — сумма баллов тех студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, с — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы. Заметим, что средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, поэтому средний балл по обеим контрольным также равен 15. Всего было написано 28 + k контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно 15 умножить на левая круглая скобка 28 плюс k правая круглая скобка =420 плюс 15k. Тогда получаем: a плюс b=5 умножить на 28=140,a плюс b плюс c=420 плюс 15k, откуда c=280 плюс 15k. С другой стороны, c\leqslant20k, откуда получаем k\geqslant56. Значит, такая ситуация невозможна.

в) Аналогично предыдущем пункту получаем: a плюс b=S умножить на 28=28S,a плюс b плюс c=15 умножить на левая круглая скобка 28 плюс 10 правая круглая скобка =570, откуда

S= дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 28 конец дроби = дробь: числитель: 570 минус c, знаменатель: 28 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 570 минус 10 умножить на 20, знаменатель: 28 конец дроби = дробь: числитель: 185, знаменатель: 14 конец дроби .

Приведём пример, когда S= дробь: числитель: 185, знаменатель: 14 конец дроби . Если b=c=200 (то есть 10 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую), а a=170 (например, каждую контрольную работу писали по 9 студентов, из которых четверо получили по 10 баллов, а пятеро —по 9 баллов), то условия задачи выполнены и S= дробь: числитель: 185, знаменатель: 14 конец дроби .

 

Ответ: а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, а 4 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов; б) нет; в)  дробь: числитель: 185, знаменатель: 14 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— пример в пункте а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517465: 517519 517472 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).