Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517505

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число A.

а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?

б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?

в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?

Спрятать решение

Решение.

a) Пусть начальные числа: a, b, c, d и e, тогда

A= дробь: числитель: a плюс b плюс 2c плюс 4d плюс 8e, знаменатель: 16 конец дроби .

Поскольку равенство

 дробь: числитель: a плюс b плюс 2c плюс 4d плюс 8e, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: a плюс b плюс c плюс d плюс e, знаменатель: 5 конец дроби равносильно 4d минус 11 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс 6 левая круглая скобка 4e минус c правая круглая скобка =0.

Равенство 4 умножить на 11 минус 11 умножить на 4 плюс 6 левая круглая скобка 4 умножить на 2 минус 8 правая круглая скобка =0 верно. Поэтому искомыми числами являются 1, 3, 8, 11, 2.

 

б) Равенство

 дробь: числитель: a плюс b плюс 2c плюс 4d плюс 8e, знаменатель: 16 конец дроби =5 умножить на дробь: числитель: a плюс b плюс c плюс d плюс e, знаменатель: 5 конец дроби = a плюс b плюс c плюс d плюс e

приводит к равенству 15a плюс 15b плюс 14c плюс 12d плюс 8e=0, что невозможно для натуральных слагаемых.

Вывод: нет.

 

в) Пусть число A в k раз больше среднего арифметического. Тогда:

 дробь: числитель: a плюс b плюс 2c плюс 4d плюс 8e, знаменатель: 16 конец дроби =k дробь: числитель: a плюс b плюс c плюс d плюс e, знаменатель: 5 конец дроби равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка 16k минус 5 правая круглая скобка a плюс левая круглая скобка 16k минус 5 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка 16k минус 10 правая круглая скобка c плюс левая круглая скобка 16k минус 20 правая круглая скобка d плюс левая круглая скобка 16k минус 40 правая круглая скобка e=0,

что невозможно при k больше или равно 3. Пример для k = 2: 1, 3, 4, 7, 35.

 

Ответ: а) да, например: 1, 3, 8, 11, 2; б) нет; в) 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— обоснованное решение в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).