Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517581

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

а) Может ли быть записано число 250?

б) Можно ли обойтись без числа 11?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть на доске написано число 250 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа - арифметическая прогрессия с первым членом a_1=1 и разностью d=1. Сумма S_99 этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит:

S_99= дробь: числитель: 1 плюс 99, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 99=4950

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

S=S_99 плюс 250=4950 плюс 250=5200

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 250, больше 5100, следовательно, числа 250 на доске быть не может.

 

б) Пусть на доске не записано число 11. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы S_1 первых 10 членов прогрессии с первым членомa_1=1, разностью d=1 (то есть ряда 1,2,3,..10) и суммы первых 90 членов прогрессии с первым членомa_1=12, разностью d=1 (то есть ряда 12,13,14,..101). Найдем эту сумму:

S=S_1 плюс S_2= дробь: числитель: 1 плюс 10, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 плюс дробь: числитель: 12 плюс 101, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 90=55 плюс 5085=5140

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 11, больше 5100, следовательно, без числа 11 на доске обойтись нельзя.

 

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членомa_1=1, разностью d=1. По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму S_0 всех чисел на доске

S_0= дробь: числитель: 1 плюс 100, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 100=5050.

Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 11 на другие числа, следующие за сотней: 77 заменим на 103, 88 на 102, а 99 на 101. Полученная сумма S будет равна:

S=S_0 минус левая круглая скобка 77 плюс 88 плюс 99 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 103 плюс 102 плюс 101 правая круглая скобка =5092.

Подправим сумму S: заменим число 101 на число 109, окончательно получим:

S=5092 минус 101 плюс 109=5100.

При дальнейшей замене чисел, кратных 11 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 11 равно 6.

 

Приведем другое решение пункта в).

 

Приведем пример, когда на доске написано шесть чисел, кратных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66):

1, 2, ... , 76, 78, 79, ... , 87, 89, 90, ... , 98, 100, 101, 102, 103.

Докажем, что на доске не может быть меньше шести чисел, делящихся на 11 без остатка. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 11, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальны. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 11, на наименьшие возможные числа, большие ста. Пусть количество чисел, кратных 11, равно 5. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

 S=1 плюс 2 плюс ... плюс 65 плюс 67 плюс ... плюс 76 плюс 78 плюс ... плюс 87 плюс 89 плюс ... плюс 98 плюс 100 плюс ...104=5130.

Полученная сумма больше, чем 5100. При дальнейшей замене чисел, кратных 11, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше шести чисел, кратных 11.

 

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. a;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 517581: 517583 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017