а)  Пусть на доске на­пи­са­но число 250 и 99 дру­гих раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма чисел на доске до­сти­га­ет­ся при усло­вии, что сумма 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ми­ни­маль­на. А это, в свою оче­редь, воз­мож­но, если 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа - ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Сумма этих чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­ста­вит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5100, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых есть 250, боль­ше 5100, сле­до­ва­тель­но, числа 250 на доске быть не может.

б)  Пусть на доске не за­пи­са­но число 11. В таком слу­чае, ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма S чисел на доске будет со­сто­ять из двух сумм ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий: суммы пер­вых 10 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 1,2,3,..10) и суммы пер­вых 90 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 12,13,14,..101). Най­дем эту сумму:

Не труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5100, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет 11, боль­ше 5100, сле­до­ва­тель­но, без числа 11 на доске обой­тись нель­зя.

в)  До­пу­стим, что на доске вы­пи­са­ны все числа от 1 до 100. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что по­лу­чен­ный ряд со­став­ля­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном раз­но­стью По фор­му­ле для суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии най­дем сумму всех чисел на доске

По­лу­чен­ная сумма не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Те­перь, чтобы уве­ли­чить сумму всех чисел, на­пи­сан­ных на доске до обо­зна­чен­ной в усло­вии, по­про­бу­ем за­ме­нить числа, крат­ные 11 на дру­гие числа, сле­ду­ю­щие за сот­ней: 77 за­ме­ним на 103, 88 на 102, а 99 на 101. По­лу­чен­ная сумма S будет равна:

Под­пра­вим сумму S: за­ме­ним число 101 на число 109, окон­ча­тель­но по­лу­чим:

При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 11 на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся и не со­от­вет­ство­вать усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11 равно 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та в).

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но шесть чисел, крат­ных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66):

До­ка­жем, что на доске не может быть мень­ше шести чисел, де­ля­щих­ся на 11 без остат­ка. Чтобы убрать мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11, не­об­хо­ди­мо, чтобы раз­но­сти между но­вы­ми и ста­ры­ми чис­ла­ми были ми­ни­маль­ны. То есть за­ме­нять надо наи­боль­шие числа, крат­ные 11, на наи­мень­шие воз­мож­ные числа, боль­шие ста. Пусть ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11, равно 5. Тогда ми­ни­маль­ная сумма за­пи­сан­ных на доске чисел равна:

По­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5100. При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 11, на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся, зна­чит, на доске не может быть мень­ше шести чисел, крат­ных 11.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  6.

а)  Пусть на доске на­пи­са­но число 230 и 99 дру­гих раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма чисел на доске до­сти­га­ет­ся при усло­вии, что сумма 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ми­ни­маль­на. А это, в свою оче­редь, воз­мож­но, если 99 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа  — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Сумма этих чисел, по фор­му­ле суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­ста­вит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не­труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых есть 230, боль­ше 5120, сле­до­ва­тель­но, числа 230 на доске быть не может.

б)  Пусть на доске не за­пи­са­но число 14. В таком слу­чае, ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма S чисел на доске будет со­сто­ять из двух сумм ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий: суммы пер­вых 13 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 1, 2, 3, ... 13) и суммы пер­вых 87 чле­нов про­грес­сии с пер­вым чле­ном раз­но­стью (то есть ряда 15,16,17,..101). Най­дем эту сумму:

Не­труд­но за­ме­тить, что по­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120, а это зна­чит, что и любая сумма 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет 14, боль­ше 5120, сле­до­ва­тель­но, без числа 14 на доске обой­тись нель­зя.

в)  До­пу­стим, что на доске вы­пи­са­ны все числа от 1 до 100. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что по­лу­чен­ный ряд со­став­ля­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном раз­но­стью По фор­му­ле для суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии най­дем сумму всех чисел на доске:

По­лу­чен­ная сумма не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Те­перь, чтобы уве­ли­чить сумму всех чисел, на­пи­сан­ных на доске до обо­зна­чен­ной в усло­вии, по­про­бу­ем за­ме­нить числа, крат­ные 14, на дру­гие числа, сле­ду­ю­щие за сот­ней: 70 за­ме­ним на 110, 84  — на 104, а 98  — на 108. По­лу­чен­ная сумма S будет равна:

При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 14 на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся и не со­от­вет­ство­вать усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, равно 4.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та в).

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но че­ты­ре числа, крат­ных 14 (14, 28, 42, 56):

До­ка­жем, что не может быть трех чисел, крат­ных 14. Чтобы убрать мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, не­об­хо­ди­мо, чтобы раз­но­сти между но­вы­ми и ста­ры­ми чис­ла­ми были ми­ни­маль­ны­ми. То есть за­ме­нять надо наи­боль­шие числа, крат­ные 14, на наи­мень­шие воз­мож­ные, боль­шие ста числа. Пусть ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, равно 3. Тогда ми­ни­маль­ная сумма за­пи­сан­ных на доске чисел равна:

По­лу­чен­ная сумма боль­ше, чем 5120. При даль­ней­шей за­ме­не чисел, крат­ных 14, на числа, боль­шие 100, сумма будет уве­ли­чи­вать­ся, зна­чит, на доске не может быть мень­ше че­ты­рех чисел, крат­ных 14.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.