РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 519688 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2x в квадрате минус 5x минус 12 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Приравняем множители к нулю и получим корни уравнения.

$совокупность выражений 2x в квадрате минус 5x минус 12=0, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 конец дроби ,x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=4,x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. конец совокупности .$ $совокупность выражений 2x в квадрате минус 5x минус 12=0, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 конец дроби ,x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=4,x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb Z. конец совокупности .$

б)  Отеберем корни с помощью двойного неравенства на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно Пи равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 1 плюс 3k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 3k меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно k=0.$ Тогда корень $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ искомый.

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно Пи равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно минус 1 плюс 3k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 3k меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно k=\varnothing$ на множестве целых чисел.

Так как $3 меньше Пи меньше 4,$ то корень $x=4$ очевидно лежит вне отрезка.

$3 меньше Пи меньше 4, минус 4 меньше минус Пи меньше минус 3, минус 2 меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ Таким образом, корень $x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ принадлежит отрезку.

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,4, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

----------

Дублирует задание 519635.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

519688

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,4, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	519688	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,4, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$