ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Тип 13 № 519665

i

а)  Решите уравнение $2 синус 2x минус 4 косинус x плюс 3 синус x минус 3=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 13 № 519678

i

а)  Решите уравнение $7 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка конец дроби плюс 1=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 13 № 519681

i

а)  Решите уравнение $4 тангенс в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка конец дроби плюс 3=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 13 № 519688

i

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2x в квадрате минус 5x минус 12 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 14 № 519642

i

Вокруг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 3 описана сфера. На ребре CC₁ взята точка M так, что плоскость, проходящая через точки A, B и M, образует угол 15° с плоскостью ABC.

a) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки A, B и M.

б)  Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 14 № 519683

i

Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.

а)  Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.

б)  Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 519640

i

Решите неравенство $2 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _5x в квадрате плюс |x| в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _54 меньше или равно 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _0,2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 519643

i

Решите неравенство $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 519673

i

Решите неравенство $3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка плюс 2 умножить на |x| в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 9 правая круглая скобка \leqslant3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 519684

i

Решите неравенство $2 в степени левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате правая круглая скобка плюс 2 умножить на |x| в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка меньше или равно 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 519666

i

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а)  Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б)  Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519637

i

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $дробь: числитель: синус x минус a косинус x, знаменатель: синус x плюс косинус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 2 конец дроби$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519639

i

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

$дробь: числитель: a минус левая круглая скобка a в квадрате минус 2a правая круглая скобка косинус 2x плюс 2, знаменатель: 3 минус косинус 4x плюс a в квадрате конец дроби меньше 1$

содержит отрезок $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519644

i

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции $y= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: a плюс 1 конец аргумента минус 2 косинус 3x плюс 1, знаменатель: синус в квадрате 3x плюс a плюс 2 корень из: начало аргумента: a плюс 1 конец аргумента плюс 2 конец дроби$ содержит отрезок $левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519667

i

Найдите все a, при каждом из которых уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =|a плюс 2| корень 3 степени из: начало аргумента: x конец аргумента$ имеет 4 решения, где f  — четная периодическая функция с периодом $T= дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби ,$ определенная на всей числовой прямой, причем $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате ,$ если $0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519670

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система

$система выражений y в квадрате минус x минус 2=|x в квадрате минус x минус 2|,x минус y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519672

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений |x в квадрате минус 1| плюс 2x минус x в квадрате =|y в квадрате минус 1| плюс 2y минус y в квадрате ,x плюс y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519674

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс |x в квадрате минус 2x|=y в квадрате плюс |y в квадрате минус 2y|,x плюс y=a конец системы .$

имеет более двух решений.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519676

i

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$2x в кубе плюс 9x плюс 3|x плюс a минус 2| плюс 2|2x минус a плюс 2| плюс корень 5 степени из: начало аргумента: 2x минус 3 конец аргумента \leqslant16 \quad$

выполняется для всех значений x из отрезка $левая квадратная скобка минус 2;1 правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519680

i

Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

$3x в степени 5 плюс 11x плюс 4|x минус a плюс 3| плюс 2|3x плюс a минус 5| плюс корень 3 степени из: начало аргумента: 4x плюс 5 конец аргумента \leqslant25 \quad$

выполняется для всех значений x из отрезка $левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519682

i

Найдите все значения a, при каждом из которых для любой пары $левая круглая скобка u; v правая круглая скобка$ действительных чисел u и $v$ выполнено неравенство

$13 синус u минус 7| синус u плюс v минус 2a| плюс 3| синус u минус 2 v минус a минус 1|\leqslant16.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 519686

i

Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $левая круглая скобка x минус a плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус ax плюс 4a минус 17 правая круглая скобка =0$ не меньше 9.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519585

i

а)  Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных натуральных делителей (в число делителей числа n включается единица и само число n)?

б)  Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в)  Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных делителей?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519638

i

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.

а)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519641

i

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а)  Могут ли быть одинаковыми два из трех значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б)  Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в)  Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519668

i

а)  Приведите пример трехзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.

б)  Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?

в)  Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519671

i

Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифра, вторая и предпоследняя и т. д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.

а)  Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б)  Сколько существует пятизначных чисел-⁠палиндромов, делящихся на 15?

в)  Найдите 37-е по порядку число-палиндром, которое делится на 15.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519675

i

а)  Приведите пример натурального числа, произведение всех делителей которого оканчивается на 6 нулей.

б)  Может ли произведение всех делителей числа, оканчивающегося ровно на три нуля, оканчиваться на нечетное число нулей?

в)  Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 333 нуля. На сколько нулей может оканчиваться число N?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519677

i

а)  Приведите пример натурального числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б)  Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в)  Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 519687

i

а)  Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.

б)  Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?

в)  Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.