Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519641

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из трех значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть группы будут, например, такими: 1) 2; 2) 1, 3; 3) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах равно 2.

б) Пусть среднее арифметическое в каждой группе равно x. Тогда сумма всех чисел равна количеству чисел, умноженному на x, значит, x= левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5 плюс 6 плюс 7 плюс 8 плюс 9 плюс 16 правая круглая скобка :10= дробь: числитель: 61, знаменатель: 10 конец дроби . Таким образом, среднее арифметическое в каждой группе равно  дробь: числитель: 61, знаменатель: 10 конец дроби , но это значит, что количество чисел в каждой группе не меньше 10, но этого не может быть.

в) Среднее арифметическое всех данных чисел равно  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 10 . В пункте б) мы выяснили, что при разбиении чисел на три группы такое среднее в группах получить невозможно. Ясно, что возможные средние это рациональные числа со знаменателем меньшим или равным количеству чисел в группе. Максимальное количество чисел в одной группе равно 8, поэтому среднее арифметическое  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 получить тоже нельзя. Покажем, что среднее  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 тоже не получится. Действительно, если группа состоит из 8 чисел со средним  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 , то сумма чисел в этой группе равна 49. Тогда сумма двух оставшихся чисел равна 12. Это могут быть пары чисел 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Все они не подходят, одно из средних будет больше, чем  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 .

Приведем теперь пример для наибольшего из средних равного  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 . Разобьем наши числа на такие три группы: 1) 6; 2) 5, 7; 3) 1, 2, 3, 4, 8, 9, 16. Их средние арифметические будут равны соответственно 6, 6,  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 .

 

Ответ: а) да; б) нет; в)  целая часть: 6, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;

— оба набора задуманных чисел в п. в

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 519641: 562241 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства