СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 519670

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет более двух решений.

Решение.

Раскроем модуль: при или уравнение принимает вид при его можно записать в виде

На координатной плоскости уравнение (*) задает прямые или Уравнение (**) задает окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом Тем самым, график первого уравнения исходной системы имеет вид, приведенный на рисунке синим цветом.

Графиком второго уравнения является семейство прямых получаемых сдвигом прямой на а единиц вдоль оси ординат. Система имеет более двух решений тогда и только тогда, когда графики построенных уравнений имеют более двух общих точек. Возможны два случая: графики уравнений имеют бесконечно много общих точек, что возможно при (выделено на рисунке красным) или прямые лежат между прямыми m и n (см. рис.). Здесь прямая m проходит через точку (-1; 1), а прямая n является касательной к окружности.

Определим уравнение касательной, подставив   в

Очевидно, что дискриминат этого уравнения должен равняться 0:

Нам подходит меньший корень, так как больший корень сдвинет нашу прямую вниз. Это происходит потому, что знак перед a отрицательный. Подставив координаты точки (-1; 1) в уравнение прямой из второй строчки системы, получим, что

Таким образом, получаем окончательный ответ

 

Ответ:

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»