Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 519670

Найдите все значения a, при каждом из которых система

 система выражений y в степени 2 минус x минус 2=|x в степени 2 минус x минус 2|,x минус y=a конец системы .

имеет более двух решений.

Решение.

Раскроем модуль: при x больше 2 или x меньше минус 1, уравнение y в степени 2 минус x минус 2=|x в степени 2 минус x минус 2| принимает вид y в степени 2 =x в степени 2 (*), при  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2, его можно записать в виде (x минус 1) в степени 2 плюс y в степени 2 =5 (**).

На координатной плоскости уравнение (*) задает прямые y=x или y= минус x. Уравнение (**) задает окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом  корень из { 5}. Тем самым, график первого уравнения исходной системы имеет вид, приведенный на рисунке синим цветом.

Графиком второго уравнения является семейство прямых y=x минус a, получаемых сдвигом прямой y=x на а единиц вдоль оси ординат. Система имеет более двух решений тогда и только тогда, когда графики построенных уравнений имеют более двух общих точек. Возможны два случая: графики уравнений имеют бесконечно много общих точек, что возможно при  a=0 (выделено на рисунке красным) или прямые y=x минус a лежат между прямыми m и n (см. рис.). Здесь прямая m проходит через точку (-1; 1), а прямая n является касательной к окружности.

Определим уравнение касательной, подставив y=x минус a  в (**).

x в степени 2 минус 2x плюс 1 плюс x в степени 2 минус 2xa плюс a в степени 2 =5 равносильно 2x в степени 2 минус 2(1 плюс a)x плюс a в степени 2 минус 4=0.

Очевидно, что дискриминат этого уравнения должен равняться 0:

 дробь, числитель — D, знаменатель — 4 =1 плюс 2a плюс a в степени 2 минус 2a в степени 2 плюс 8= минус a в степени 2 плюс 2a плюс 9,

 минус a в степени 2 плюс 2a плюс 9=0 равносильно совокупность выражений a=1 минус корень из { 10},a=1 плюс корень из { 10}. конец совокупности .

Нам подходит меньший корень, так как больший корень сдвинет нашу прямую вниз. Это происходит потому, что знак перед a отрицательный. Подставив координаты точки (-1; 1) в уравнение прямой из второй строчки системы, получим, что a= минус 2.

Таким образом, получаем окончательный ответ 1 минус корень из { 10} меньше a меньше минус 2;a=0.

 

Ответ:  левая круглая скобка 1 минус корень из { 10}; минус 2 правая круглая скобка \cup\{0\}.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»