ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 519677 Добавить в вариант

а)  Приведите пример натурального числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б)  Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в)  Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Спрятать решение

Решение.

а)  Например, годится число $729=3 в степени 6 .$ Действительно, оно имеет ровно 7 делителей: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Вообще, если число n можно разложить на простые множители: $n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка ,$ то количество натуральных делителей числа n равно $\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка .$

б)  Существует: число $2 в степени 6 умножить на 3 в квадрате =576$ имеет ровно $левая круглая скобка 1 плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 правая круглая скобка =21$ делитель. Есть и другие примеры.

в)  Разложим наше трехзначное число n на простые множители: $n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка ,$ и пусть $альфа _1 больше или равно альфа _2\geqslant....$ Заметим, что верно равенство: $\sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка =18.$ Так как $18=18 умножить на 1 = 9 умножить на 2=6 умножить на 3=3 умножить на 3 умножить на 2,$ то n имеет вид $p_1 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка ,$ или $p_1 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на p_2,$ или $p_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на p_2 в квадрате ,$ или $p_1 в квадрате умножить на p_2 в квадрате умножить на p_3.$ Рассмотрим эти четыре случая.

1.  Даже $2 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка больше 1000,$ поэтому число не может быть трехзначным.

2.  Наименьшее подходящее число вида $p_1 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на p_2$ это $2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на 3=768.$ Следующее по величине $2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на 5=1280$ уже не годится.

3.  Минимальное число вида $p_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на p_2 в квадрате$ это $2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 3 в квадрате =288.$ Кроме него годятся еще числа $2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 5 в квадрате =800$ и $3 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 2 в квадрате =972.$

4.  Годятся следующие числа вида $p_1 в квадрате умножить на p_2 в квадрате умножить на p_3$ : $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 5=180,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 7=252,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 11=396,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 13=468,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 17=612,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 19=684,$ $2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 23=828,$ $2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 3=300,$ $2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7=700,$ $2 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 3=588,$ $2 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 5=980,$ $3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 2=450,$ $3 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 2=882.$

Таким образом, ровно 18 натуральных делителей имеют 17 трехзначных чисел.

Ответ: а)  729; б)  да; в)  17.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 519668: 519677 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь