Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519677

а) Приведите пример натурального числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б) Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в) Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, годится число 729=3 в степени 6 . Действительно, оно имеет ровно 7 делителей: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Вообще, если число n можно разложить на простые множители: n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка , то количество натуральных делителей числа n равно \sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка .

б) Существует: число 2 в степени 6 умножить на 3 в квадрате =576 имеет ровно  левая круглая скобка 1 плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 правая круглая скобка =21 делитель. Есть и другие примеры.

в) Разложим наше трехзначное число n на простые множители: n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка , и пусть  альфа _1 больше или равно альфа _2\geqslant.... Заметим, что верно равенство: \sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка =18. Так как 18=18 умножить на 1 = 9 умножить на 2=6 умножить на 3=3 умножить на 3 умножить на 2, то n имеет вид p_1 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка , или p_1 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на p_2, или p_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на p_2 в квадрате , или p_1 в квадрате умножить на p_2 в квадрате умножить на p_3. Рассмотрим эти четыре случая.

1. Даже 2 в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка больше 1000, поэтому число не может быть трехзначным.

2. Наименьшее подходящее число вида p_1 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на p_2 это 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на 3=768. Следующее по величине 2 в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка умножить на 5=1280 уже не годится.

3. Минимальное число вида p_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на p_2 в квадрате это 2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 3 в квадрате =288. Кроме него годятся еще числа 2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 5 в квадрате =800 и 3 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 2 в квадрате =972.

4. Годятся следующие числа вида p_1 в квадрате умножить на p_2 в квадрате умножить на p_3: 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 5=180, 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 7=252, 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 11=396, 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 13=468, 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 17=612, 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 19=684, 2 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 23=828, 2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 3=300, 2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7=700, 2 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 3=588, 2 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 5=980, 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 2=450, 3 в квадрате умножить на 7 в квадрате умножить на 2=882.

Тем самым, ровно 18 натуральных делителей имеют 17 трехзначных чисел.

 

Ответ: а) 729; б) да; в) 17.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 519668: 519677 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства