Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519668

а) Приведите пример трехзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.

б) Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?

в) Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, годится число 625=5 в степени 4 . Действительно, оно имеет ровно 5 делителей: 1, 5, 25, 125, 625. Вообще, если число n можно разложить на простые множители: n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка , то количество натуральных делителей числа n равно \sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка .

б) Существует: число 2 в квадрате умножить на 3 в степени 4 =324 имеет ровно  левая круглая скобка 1 плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4 правая круглая скобка =15 делителей. Есть и другие примеры.

в) Разложим наше трехзначное число n на простые множители: n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка , и пусть Пусть  альфа _1 больше или равно альфа _2\geqslant... . Заметим, что верно равенство: \sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _k правая круглая скобка =20. Так как 20=20 умножить на 1 = 10 умножить на 2=5 умножить на 4=5 умножить на 2 умножить на 2, то n имеет вид p_1 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка , или p_1 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на p_2, или p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 в кубе , или p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 умножить на p_3. Рассмотрим эти четыре случая.

1. Даже 2 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка больше 1000, поэтому число не может быть трехзначным.

2. Наименьшее число вида p_1 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на p_2 это 2 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 3=1536. Таким образом, этот случай тоже невозможен.

3. Минимальное число вида p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 в кубе это 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 в кубе =432. Кроме него годится еще число 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 2 в кубе =648.

4. Подходят следующие числа вида p_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на p_2 умножить на p_3: 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 5=240, 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 7=336, 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 11=528, 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 13=624, 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 17=816, 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 19=912, 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7=560, 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 11=880, 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 2 умножить на 5=810.

Тем самым, ровно 20 натуральных делителей имеют 11 трехзначных чисел.

 

Ответ: а) 625; б) да; 324; в) 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 519668: 519677 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства