а)  На­при­мер, го­дит­ся число Дей­стви­тель­но, оно имеет ровно 5 де­ли­те­лей: 1, 5, 25, 125, 625. Во­об­ще, если число n можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли: то ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа n равно

б)  Су­ще­ству­ет: число имеет ровно де­ли­те­лей. Есть и дру­гие при­ме­ры.

в)  Раз­ло­жим наше трех­знач­ное число n на про­стые мно­жи­те­ли: и пусть Пусть За­ме­тим, что верно ра­вен­ство: По­сколь­ку то n имеет вид или или или Рас­смот­рим эти че­ты­ре слу­чая.

1.  Даже по­это­му число не может быть трех­знач­ным.

2.  Наи­мень­шее число вида это Таким об­ра­зом, этот слу­чай тоже не­воз­мо­жен.

3.  Ми­ни­маль­ное число вида это Кроме него го­дит­ся еще число

4.  Под­хо­дят сле­ду­ю­щие числа вида

Таким об­ра­зом, ровно 20 на­ту­раль­ных де­ли­те­лей имеют 11 трех­знач­ных чисел.

Ответ: а)  625; б)  да; 324; в)  11.

а)  На­при­мер, го­дит­ся число Дей­стви­тель­но, оно имеет ровно 7 де­ли­те­лей: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Во­об­ще, если число n можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли: то ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа n равно

б)  Су­ще­ству­ет: число имеет ровно де­ли­тель. Есть и дру­гие при­ме­ры.

в)  Раз­ло­жим наше трех­знач­ное число n на про­стые мно­жи­те­ли: и пусть За­ме­тим, что верно ра­вен­ство: Так как то n имеет вид или или или Рас­смот­рим эти че­ты­ре слу­чая.

1.  Даже по­это­му число не может быть трех­знач­ным.

2.  Наи­мень­шее под­хо­дя­щее число вида это Сле­ду­ю­щее по ве­ли­чи­не уже не го­дит­ся.

3.  Ми­ни­маль­ное число вида это Кроме него го­дят­ся еще числа и

4.  Го­дят­ся сле­ду­ю­щие числа вида :

Таким об­ра­зом, ровно 18 на­ту­раль­ных де­ли­те­лей имеют 17 трех­знач­ных чисел.

Ответ: а)  729; б)  да; в)  17.