Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 519642
i

Во­круг куба ABCDA1B1C1D1 с реб­ром 3 опи­са­на сфера. На ребре CC1 взята точка M так, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки A, B и M, об­ра­зу­ет угол 15° с плос­ко­стью ABC.

 

a) По­строй­те линию пе­ре­се­че­ния сферы и плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точки A, B и M.

б)  Най­ди­те длину линии пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния и сферы

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Се­че­ние сферы плос­ко­стью яв­ля­ет­ся окруж­но­стью. Пусть пря­мая BM пе­ре­се­ка­ет сферу в точке  K. Ис­ко­мая линия пе­ре­се­че­ния сферы и плос­ко­сти  — окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ABK.

б)  Точка K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c опи­сан­ной окруж­но­стью квад­ра­та BCC_1B_1. \angle BKC_1=90 гра­ду­сов, по­сколь­ку BC1  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му BK=BC_1 умно­жить на ко­си­нус \angle MBC_1.

\angle MBC=15 гра­ду­сов, по­это­му MBC_1=45 гра­ду­сов минус 15 гра­ду­сов=30 гра­ду­сов, от­ку­да BK=BC_1 умно­жить на ко­си­нус 30 гра­ду­сов=3 ко­рень из 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тре­уголь­ник ABK пря­мо­уголь­ный, по­это­му длина опи­сан­ной около него окруж­но­сти равна про­из­ве­де­нию ее диа­мет­ра на число Пи . Вы­чис­ляя AK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та , по­лу­ча­ем ответ 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та Пи .

 

Ответ: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке под ре­дак­ци­ей И.В. Ящен­ко, 2018
Классификатор стереометрии: Куб, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026